Гипотеза о якобиане

Аннотация. Работа посвящена одной из самых старых и знаменитых нерешенных проблем алгебры и анализа, проблеме якобиана, сформулированной Келлером в 1939 году. Проблема якобиана входит (под номером шестнадцать из восемнадцати) в "Математические проблемы следующего столетия" [1], изложенной Стивеном Смейлом в 2000 году.
Ключевые слова: Якобиан полиномиального отображения, гипотеза о якобиане.

Гипотеза якобиана была сформулирована немецким математиком О. Г. Келлером, как проблема, связанная с преобразованием Кремона. Сначала эта проблема носила имя Келлера, как первооткрывателя, затем ей было дано название «проблема якобиана» или «гипотеза якобиана». Келлер рассматривал отображения с целыми коэффициентами. Он проверил гипотезу в бирациональном случае.

Обозначим ℙm множество всех полиномов в ℝn (ℂn) степени не выше чем m. Пусть Pm набор всех полиномиальных отображений F = (F1, … , Fn): ℝn → ℝn ( ℂn → ℂn ), Fk ∈ ℙm (k = 1, … , n) deg F ≤ m.

Матрицу якоби и якобиан отображения F обозначим DF и JF, соответственно. В 1939 году Келлер сформулировал гипотезу о якобиане в вещественном случае для целых коэффициентов так: если F ∈ Pm и JF ≠ 0, тогда F инъективно в ℝn.

В 1994 году С. Пинчуку [8] удалось опровергнуть гипотезу о якобиане в вещественном случае при n = 2, построив контр пример, где F(p, q) = (f + h, - t2 - 6th(h + 1) - u(f, h), где t = xy - 1, h = t(xt + 1), f = (xt + 1)2(h + 1) / x. Пример опровергает гипотезу о якобиане и при любом n, не только при размерности 2.

Но в комплексном случае этот пример не работает. Поэтому гипотеза, сформулированная Келлером претерпела следующие изменения: если F ∈ Pm и JF ≡ const ≠ 0 тогда F инъективно в ℂn (ℝn).
В примере Пинчука гипотеза опровергнута только в случае JF ≠ 0, но не в случае JF ≡ const ≠ 0.

Мною была детально изучена статья [8] В. В. Старкова. В статье [8] говорилось о том, что в [2] гипотеза о якобиане проверена для n = 2 и F ∈ P100. Заинтересовавшись этим фактом, я изучила различные источники. В википедии [3] я прочитала любопытный факт, не совпадающий с информацией из статьи [2]; именно в [3] утверждалось, что

(*) «Достаточно решить проблему якобиана в случае, когда n = 2 и степени f1, f2 не выше 150, а также если n любое, но степени всех многочленов f1, f2, … , fn не выше чем 2».

Как подтверждение этого факта в википедии [3] автор ссылается на статью [4]. Однако в [4] об этом ничего не говорится. Стоит отметить, что я наткнулась еще на 2 статьи: [5] - из Соросовского образовательного журнала и [6] - из Чебышевского сборника, авторы которых пишут об этом же факте (*) и ссылаются на статью [4], в которой данного факта (*) нет.

В ходе моей переписки с автором статьи [5] он посоветовал обратится к более новой статье [7]. Однако в [7] ничего не говорится об этом факте (*).

В действительности, источник [2] является достоверным, судя по авторитетности издания «Journal für die reine und angewandte Mathematik» и автора, а также по количеству ссылок на статью [2] в авторитетных изданиях. А также автор в [5] утверждает, что достаточно доказать факт (*). Данное утверждение не имеет смысла, потому что в [10] - это уже доказано, а именно что для любого n и deg f ≤ 2 - гипотеза о якобиане справедлива, а во-вторых это не приводит к решению проблемы о якобиане для любой степени f.

Список литературы
1.Smale S. Mathematical Problems for the Next Century. Math. Intelligencer. 1998, vol. 20, no. 2, pp. 7–15.
2.Moh T. T. On the global Jacobian conjecture and the configuration of roots. J. reine und angew. Math. 1983, vol. 340, pp. 140 – 212.
3.Проблема якобиана [электронный ресурс]: ru.wikipedia.org/wiki/Проблема_якобиана
4.Bass H., Connell E.H., Wright D. The Jacobian Conjecture // Bull. Amer. Math. Soc., 1982, vol. 7, № 2, с. 287 – 330.
5.В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113.
6.С. А. Пихтильков О гипотезе якобиана // Чебышевский сборник, 2013, том 14, выпуск 3, с. 92 – 99.
7.Alexei Belov-Kanel, Maxim Kontsevich The Jacobian Conjecture is stably equivalent to the Dixmier Conjecture. arXiv: math/051217v2 [math.RA]
8.V. V. Starkov, “Jacobian conjecture, two-dimensional case”, Пробл. анал. Issues Anal., 5(23):2 (2016), 69 – 78
9.Pinchuk S. A counterexample to the strong real Jacobian conjecture, Math. Z. 1994, vol. 217, pp. 1–4.
10.Wang S. S.-S. A Jacobian criterion for separability. J. of Algebra. 1980, vol. 65, no. 2, pp. 453– 494.

К. А. Сергейчук