Функциональные уравнения

В настоящее время на экзаменах, различных математических олимпиадах могут встретиться задачи, далеко выходящие за рамки школьного курса. Ряд таких задач вообще не встречается в учебниках. Речь идет, в том числе, о функциональных уравнениях.

Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе. Несмотря на то, что эта тема в школьном курсе не изучается, при поступлении в престижные вузы, на олимпиадах, различных математических соревнованиях такие задачи встречаются.

Решить функциональное уравнение часто бывает трудно, но существуют некоторые общие методы, которые помогают решить функциональное уравнение. В работе исследованы следующие методы решения функциональных уравнений:
метод подстановок;
поиск подстановок;
использование однозначности функции;
использование значений функций в некоторых точках;
использование сюръективности искомой функции.

Функциональные уравнения могут служить хорошей темой для факультативных занятий и для работы в математических кружках. В математических журналах можно встретить статьи о функциональных уравнениях с задачами для самостоятельного решения. В ходе работы были рассмотрены и решены некоторые из мно¬жества задач, которые встретились в ходе исследования.

Изучение школьниками данной тематики улучшает закрепление пройденного материала, способствует развитию интереса к предмету, развитию логического мышления, позволяет отработать различные способы решения задач при подготовке к олимпиадам разного уровня и вступительным испытаниям в вузы (в которых эти испытания сохранились). Учащимся приходится применять более широкий спектр теоретических знаний, проявлять сообразительность и умение рассуждать, что способствует их умственному развитию.

Ю. С. Катаева