Способы решения квадратных уравнений

Практически все, что окружает современного человека, так или иначе связано с математикой. Последние достижения в физике, технике, химии, биологии, информационных технологиях не дают нам возможности усомниться в том, что в будущем положение вещей останется прежним. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным). Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельных участков, с земляными работами военного характера, с развитием астрономии и самой математики. В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский письмописец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.


С точки зрения математики, квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Известно 13 способов решения квадратных уравнений. Среди них можно выделить стандартные: по формуле (через дискриминант); по формуле с четным коэффициентом; метод выделения полного квадрата; с использованием теоремы Виета; разложение на множители способом группировки; уменьшение степени уравнения (с использованием теоремы Безу) и нестандартные: графический способ; с помощью циркуля и линейки; с помощью номограммы; геометрический способ. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

Актуальность этой темы заключается в том, что многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью квадратных уравнений. В данной работе показаны и проанализированы стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений.

Волкова В.П.